17042. Докажите, что для трапеции с высотой h
, диагоналями l_{1}
, l_{2}
и основаниями a
и b
верно неравенство h\geqslant\frac{l_{1}l_{2}}{a+b}
.
Решение. Пусть S
— площадь данной трапеции, \alpha
— угол между диагоналями. Тогда S=\frac{a+b}{2}\cdot h
, поэтому (см. задачу 3018)
h=\frac{2S}{a+b}=\frac{l_{1}l_{2}\sin\alpha}{a+b}\leqslant\frac{l_{1}l_{2}}{a+b}.
Что и требовалось доказать.
Если диагонали трапеции перпендикулярны (\sin\alpha=1
), неравенство обращается в равенство.
Примечание. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 52, задача 3