17044. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Пусть P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
и P_{4}
— периметры треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
соответственно, а r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
и r_{4}
— радиусы вписанных в них окружностей. Докажите неравенство
OA\cdot OB\cdot OC\cdot OD\geqslant\sqrt{P_{1}r_{1}\cdot P_{2}r_{2}\cdot P_{3}r_{3}\cdot P_{4}r_{4}}.
Решение. Поскольку
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle AOB~\mbox{и}~S_{\triangle AOB}=P_{1}r_{1}
(см. задачу 452), получаем
P_{1}r_{1}=OA\cdot OB\sin\angle AOB\leqslant OA\cdot OB.
Аналогично,
P_{2}r_{2}\leqslant OB\cdot OC,~P_{3}r_{3}\leqslant OC\cdot OD,P_{4}r_{4}\leqslant OD\cdot OA.
Перемножив эти четыре неравенства, получим
P_{1}r_{1}\cdot P_{2}r_{2}\cdot P_{3}r_{3}\cdot P_{4}r_{4}\leqslant OA^{2}\cdot OB^{2}\cdot OC^{2}\cdot OD^{2}.
Следовательно,
OA\cdot OB\cdot OC\cdot OD\geqslant\sqrt{P_{1}r_{1}\cdot P_{2}r_{2}\cdot P_{3}r_{3}\cdot P_{4}r_{4}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Доказанное неравенство можно записать в виде
S_{\triangle AOB}\cdot S_{\triangle BOC}\cdot S_{\triangle COD}\cdot S_{\triangle DOA}\leqslant\frac{1}{16}OA^{2}\cdot OB^{2}\cdot OC^{2}\cdot OD^{2}.
2. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 52, задача 4