17046. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника не превосходит шестой части суммы квадратов всех его сторон и диагоналей.
Решение. Пусть S
— площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a
, b
, c
, d
и диагоналями e
и f
. Удвоенная площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
, на которые каждая диагональ разбивает четырёхугольник. Площадь каждого треугольника разбиения не превосходит шестой части суммы квадратов его сторон (см. задачу 17043), т. е.
S_{1}\leqslant\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+e^{2}),~S_{2}\leqslant\frac{1}{6}(b^{2}+c^{2}+f^{2}),~S_{3}\leqslant\frac{1}{6}(c^{2}+d^{2}+e^{2}),~S_{4}\leqslant\frac{1}{6}(d^{2}+a^{2}+f^{2}).
Сложив эти четыре неравенства получим
2S=S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}\leqslant\frac{1}{6}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}+2e^{2}+2f^{2})=\frac{1}{6}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}+2e^{2}+2f^{2}).
Следовательно,
S\leqslant\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}).
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 51, задача 2