17043. Площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
равна S
. Докажите, что S\lt\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})
.
Решение. Заметим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac~\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant2ab+2bc+2ac~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.
Последнее неравенство очевидно.
Пусть p
— полупериметр данного треугольника. Тогда (см. примечание к задаче 17040, задачи 452 и 12867)
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\gt6pr=6S.
Следовательно,
S\lt\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Примечание. 1. В процессе доказательства получено также неравенство
S\lt\frac{1}{6}(ab+bc+ac).
2. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 53, задача 7