17040. Пусть стороны треугольника равны a
и b
, полупериметр равен p
, а радиус вписанной окружности равен r
. Докажите, что ab\geqslant2pr
Решение. Пусть площадь треугольника равна S
, а угол между сторонами, равными a
и b
, равен \gamma
. Тогда (см. задачи 4254 и 452)
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma~\mbox{и}~S=pr,
Следовательно,
\frac{1}{2}ab\sin\gamma=pr~\Rightarrow~2pr=ab\sin\gamma\leqslant ab.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Следствие. Если стороны треугольника равны a
, b
и c
, полупериметр равен p
, а радиус вписанной окружности равен R
, то ab+bc+ac\geqslant6pr
(см. задачу 12867)
2. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 51, задача 1