1705. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3
. Найдите острые углы треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Указание. Проведите медиану из вершины прямого угла.
Решение. Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете BC
прямоугольного треугольника ABC
, пересекает гипотенузу AB
в точке D
, отличной от B
, причём AD=a
, BD=3a
. Проведём медиану CM
. Тогда (см. задачу 1109) AM=CM=2a
, а так как точка D
лежит на окружности с диаметром BC
, то \angle CDB=90^{\circ}
.
В прямоугольном треугольнике CDM
гипотенуза CM
, равная 2a
, вдвое больше катета DM
:
DM=AM-AD=2a-a=a.
Поэтому \angle DCM=30^{\circ}
, а \angle AMC=60^{\circ}
. Угол при вершине M
равнобедренного треугольника AMC
равен 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник AMC
равносторонний. Поэтому
\angle BAC=60^{\circ},~\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAC=30^{\circ}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.5, с. 10