17051. На плоскости заданы две окружности радиусов 3 и 1, расстояние между центрами которых равно 2\sqrt{2}
. Прямая l
— общая касательная этих двух окружностей. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания и ближайшей к l
точке пересечения окружностей.
Ответ. 1-\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов 1 и 3 соответственно, A
и B
— точки пересечения окружностей (точка B
расположена ближе к прямой l
, чем точка A
), M
и N
— точки касания окружностей с прямой l
(точка M
лежит на большей окружности).
Опустим перпендикуляр O_{1}F
из точки O_{1}
на радиус O_{2}M
большей окружности. Поскольку O_{1}FMN
— прямоугольник,
MF=O_{1}N=1,~O_{2}F=O_{2}M-MF=3-1=2,
NM=OF=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-2^{2}}=2.
Следовательно, O_{1}FO_{2}
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны 45^{\circ}
.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник AO_{1}O_{2}
со сторонами AO_{1}=1
, O_{1}O_{2}=2\sqrt{2}
и AO_{2}=3
прямоугольный (1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=3^{2}
) с прямым углом при вершине O_{1}
, а так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, то общая хорда AB
данных окружностей — диаметр меньшей окружности, AB=2
.
Продолжим отрезок AB
до пересечения с MN
в точке K
. Из теоремы о касательной и секущей следует, что K
— середина отрезка MN
(см. задачу 444). Значит, BK
— медиана треугольника MBN
, площадь которого нужно найти.
Обозначим BK=x
. По теореме о касательной и секущей
KM^{2}=AK\cdot BK,~\mbox{т. е.}~1=x(x+2),
откуда
KN=KM=x=\sqrt{2}-1.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, поэтому
S_{\triangle MBN}=2S_{\triangle BKN}=BK\cdot KN\sin\angle BKN.
Прямые MN
и O_{1}F
параллельны, поэтому
\angle BKN=\angle O_{1}KN=\angle FO_{1}K=\angle KO_{1}O_{2}-\angle FO_{1}O_{2}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle MBN}=BK\cdot KN\sin\angle BKN=(\sqrt{2}-1)\cdot1\cdot\sin45^{\circ}=(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 18, задача 3, вариант 4
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 47, задача 3