17051. На плоскости заданы две окружности радиусов 3 и 1, расстояние между центрами которых равно
2\sqrt{2}
. Прямая
l
— общая касательная этих двух окружностей. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания и ближайшей к
l
точке пересечения окружностей.
Ответ.
1-\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры данных окружностей радиусов 1 и 3 соответственно,
A
и
B
— точки пересечения окружностей (точка
B
расположена ближе к прямой
l
, чем точка
A
),
M
и
N
— точки касания окружностей с прямой
l
(точка
M
лежит на большей окружности).
Опустим перпендикуляр
O_{1}F
из точки
O_{1}
на радиус
O_{2}M
большей окружности. Поскольку
O_{1}FMN
— прямоугольник,
MF=O_{1}N=1,~O_{2}F=O_{2}M-MF=3-1=2,

NM=OF=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-2^{2}}=2.

Следовательно,
O_{1}FO_{2}
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны
45^{\circ}
.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник
AO_{1}O_{2}
со сторонами
AO_{1}=1
,
O_{1}O_{2}=2\sqrt{2}
и
AO_{2}=3
прямоугольный (
1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=3^{2}
) с прямым углом при вершине
O_{1}
, а так как линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, то общая хорда
AB
данных окружностей — диаметр меньшей окружности,
AB=2
.
Продолжим отрезок
AB
до пересечения с
MN
в точке
K
. Из теоремы о касательной и секущей следует, что
K
— середина отрезка
MN
(см. задачу 444). Значит,
BK
— медиана треугольника
MBN
, площадь которого нужно найти.
Обозначим
BK=x
. По теореме о касательной и секущей
KM^{2}=AK\cdot BK,~\mbox{т. е.}~1=x(x+2),

откуда
KN=KM=x=\sqrt{2}-1.

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, поэтому
S_{\triangle MBN}=2S_{\triangle BKN}=BK\cdot KN\sin\angle BKN.

Прямые
MN
и
O_{1}F
параллельны, поэтому
\angle BKN=\angle O_{1}KN=\angle FO_{1}K=\angle KO_{1}O_{2}-\angle FO_{1}O_{2}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.

Следовательно,
S_{\triangle MBN}=BK\cdot KN\sin\angle BKN=(\sqrt{2}-1)\cdot1\cdot\sin45^{\circ}=(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 18, задача 3, вариант 4
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 47, задача 3