17064. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса R
, отношение боковой стороны к большему основанию равно k
. Найдите меньшее основание.
Ответ. 2R\sqrt{2k-1}
(\frac{1}{2}\lt k\lt1
).
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности радиуса R
, вписанной в равнобедренную трапецию ABCD
, K
, L
и M
— точки касания окружности с большим основанием AB=a
, меньшим основанием CD=x
и боковой стороной AD=c
соответственно. По условию c=ka
.
Поскольку OM
— высота прямоугольного треугольника AOD
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313), то
R^{2}=DM\cdot MC=DL\cdot AK=\frac{x}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{ax}{4}.
В то же время, поскольку трапеция описана около окружности, сумма её оснований равна удвоенной боковой стороне, т. е.
x+a=2c~\Rightarrow~x=2c-a=2ka-a=a(2k-1).
Тогда
4R^{2}=ax=a\cdot a(2k-1)=a^{2}(2k-1)~\Rightarrow~a^{2}=\frac{4R^{2}}{2k-1}~\Rightarrow~a=\frac{2R}{\sqrt{2k-1}}.
Следовательно,
x=a(2k-1)=\frac{2R}{\sqrt{2k-1}}\cdot(2k-1)=2R\sqrt{2k-1}.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1985, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1986, № 4, с. 53, задача 4, вариант 1