17066. В остроугольном треугольнике
ABC
проведены высоты
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
, пересекающиеся в точке
H
. Радиус описанной окружности треугольника равен
R
. Докажите, что
R=\frac{1}{2}AH^{2}\cdot\frac{A_{1}H}{B_{1}H\cdot C_{1}H}.

Решение. Обозначим углы треугольника
ABC
, противолежащие сторонам
BC
,
AC
и
AB
, через
\alpha
,
\beta
и
\gamma
соответственно. Радиусы окружностей, описанных около треугольников
ABC
,
BHC
,
AHC
и
AHB
равны (см. задачу 5046). Тогда по теореме синусов
AH=2R\sin\angle ABH=2R\sin\angle ABB_{1}=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,

A_{1}H=BH\cos\angle A_{1}HB=2R\sin BAA_{1}\cos A_{1}HB=2R\cos\beta\cos\gamma,

B_{1}H=AH\cos AHB_{1}=2R\sin ACC_{1}\cos AHB_{1}=2R\cos\alpha\cos\gamma,

C_{1}H=AH\cos AHC_{1}=2R\sin ACC_{1}\cos AHC_{1}=2R\cos\alpha\cos\beta.

Следовательно,
\frac{1}{2}AH^{2}\cdot\frac{A_{1}H}{B_{1}H\cdot C_{1}H}=\frac{1}{2}\cdot4R^{2}\cos^{2}\alpha\cdot\frac{2R\cos\beta\cos\gamma}{2R\cos\alpha\cos\gamma\cdot2R\cos\alpha\cos\beta}=R.

Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1986, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1987, № 8, с. 44, задача 8