17066. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
, пересекающиеся в точке H
. Радиус описанной окружности треугольника равен R
. Докажите, что
R=\frac{1}{2}AH^{2}\cdot\frac{A_{1}H}{B_{1}H\cdot C_{1}H}.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC
, AC
и AB
, через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
, BHC
, AHC
и AHB
равны (см. задачу 5046). Тогда по теореме синусов
AH=2R\sin\angle ABH=2R\sin\angle ABB_{1}=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,
A_{1}H=BH\cos\angle A_{1}HB=2R\sin BAA_{1}\cos A_{1}HB=2R\cos\beta\cos\gamma,
B_{1}H=AH\cos AHB_{1}=2R\sin ACC_{1}\cos AHB_{1}=2R\cos\alpha\cos\gamma,
C_{1}H=AH\cos AHC_{1}=2R\sin ACC_{1}\cos AHC_{1}=2R\cos\alpha\cos\beta.
Следовательно,
\frac{1}{2}AH^{2}\cdot\frac{A_{1}H}{B_{1}H\cdot C_{1}H}=\frac{1}{2}\cdot4R^{2}\cos^{2}\alpha\cdot\frac{2R\cos\beta\cos\gamma}{2R\cos\alpha\cos\gamma\cdot2R\cos\alpha\cos\beta}=R.
Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1986, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1987, № 8, с. 44, задача 8