17073. Окружность
\Omega
касается окружности
\Omega_1
внешним образом и окружности
\Omega_2
внутренним образом в той же точке. Радиус
\Omega
равен сумме радиусов
\Omega_1
и
\Omega_2
. Прямая
a
касается
\Omega
и
\Omega_1
в точках
A
и
B
соответственно, а прямая
b
касается
\Omega_1
и
\Omega_2
в точках
C
и
D
соответственно, причём отрезки
AB
и
CD
лежат по разные стороны от линии центров. Оказалось, что линия центров и прямая
b
пересекаются в точке
K
, лежащей на окружности
\Omega
. Докажите, что
ABDK
— ромб.
Решение. Пусть
M
— точка касания всех трёх окружностей,
L
— точка пересечения линии центров с окружностью
\Omega_1
, отличная от
M
. По свойству общей внешней касательной,
\angle AMB=\angle DMC=90^\circ
(см. задачу 1762), значит,
M
— точка пересечения
AC
и
BD
. При этом
\angle KAM=90^\circ
, поэтому
AK\parallel BD
. Заметим, что
\angle DCM=\angle MLC
по свойству угла между касательной и хордой. Аналогично,
\angle BAM=\angle AKM
, при этом
CL\parallel BD
. Тогда
\angle BAM=\angle AKM=\angle MLC=\angle DCM,

следовательно,
AB\parallel DK
, а значит,
ABDK
— параллелограмм.
Пусть
r
— радиус окружности
\Omega_2
,
R
— радиус окружности
\Omega_1
. Тогда
KD=AB=2\sqrt{R(R+r)},~CD=2\sqrt{Rr}.

(см. задачу 365).
Отметим на прямой
b
такую точку
N
, что
KD=DN
. Получаем
KC=2(\sqrt{R(R+r)}+\sqrt{Rr}),\quad CN=2(\sqrt{R(R+r)}-\sqrt{Rr})

Заметим, что
KC\cdot CN=2(\sqrt{R(R+r)}+\sqrt{Rr})\cdot2(\sqrt{R(R+r)}-\sqrt{Rr})=4R^{2},

т. е. среднее геометрическое
KC
и
CN
равно
2R
. Также
BC=2R
, поскольку
AB\parallel CD
. Следовательно, треугольник
KBN
прямоугольный,
BC
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, а
BD
— его медиана. Значит,
KD=BD
, следовательно,
ABDK
— ромб, что и требовалось доказать.
Примечание. Эта задача также решается несколькими способами через подобие треугольников
BAM
и
CMD
. Помимо этого, исходя из параллельности прямых
a
и
b
, выясняется, что
\frac{R}{r}=\frac{R+r}{R},

откуда
\frac{R}{r}=\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}
— золотое сечение.
Из этого всего, например, следует, что отрезки
AM
и
BC
равны, а они являются высотами параллелограмма
ABDK
. Следовательно,
ABDK
— ромб.
Автор: Палеев А. А.