17080. Основания
AD
и
BC
трапеции
ABCD
равны 9 и 3 соответственно. Точка
E
— середина боковой стороны
AB
, точка
F
— середина
CD
. Биссектриса угла
BAD
пересекает среднюю линию
EF
в точке
P
, а биссектриса угла
ADC
— в точке
Q
. Отрезки
EQ
,
PQ
и
PF
равны. Найдите площадь трапеции.
Ответ.
6\sqrt{55}
.
Решение. Заметим, что точки
E
,
Q
,
P
и
F
расположены именно в таком порядке. Обозначим
AQ=QP=PF=a
. Поскольку средняя линия трапеции параллельна основаниям, получаем
\angle APE=\angle DAP=\angle PAE,

поэтому треугольник
AEP
равнобедренный,
AE=EP=2a~\Rightarrow~AB=2AE=4a.

Аналогично,
CD=4a
, поэтому трапеция равнобедренная.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
EF=3a=\frac{BC+AD}{2}=\frac{3+9}{2}=6~\Rightarrow~a=2~\Rightarrow~QB=CD=4a=8.

Пусть
BH
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{9-3}{2}=3~\Rightarrow~BH=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}.

Следовательно,
S_{ABCD}=EF\cdot BH=6\sqrt{55}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 49, задача 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 3, с. 65, задача 3, вариант 1