17082. В остроугольном треугольнике ABC
медианы BM
, CN
и высота AH
равны соответственно 4, 5 и 6. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 2(4+\sqrt{7})
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а OP
— высота треугольника BOC
. Тогда прямая AO
пересекает сторону BC
в её середине K
, а прямоугольные треугольники OPK
и AHK
подобны с коэффициентом \frac{OP}{OH}=\frac{OK}{AK}=\frac{1}{3}
. Значит, OP=\frac{1}{3}AH=2
.
Поскольку треугольник ABC
остроугольный, основание его высоты AH
лежит на отрезке BC
, а не на его продолжении (см. задачу 127б). Значит, BC=BP+CP
. Из прямоугольного треугольника BPO
с катетом OP=2
и гипотенузой BO=\frac{2}{3}BM=\frac{8}{3}
находим, что
BP=\sqrt{BO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}-4}=\frac{2\sqrt{7}}{3}.
Аналогично,
CP=\sqrt{CO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}-4}=\frac{8}{3}.
Значит,
BC=BP+CP=\frac{2\sqrt{7}}{3}+\frac{8}{3}=\frac{2}{3}(4+\sqrt{7}).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(4+\sqrt{7})\cdot6=2(2+4\sqrt{7}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 2.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 152, задача 3, вариант 2.4
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 3, с. 65, задача 3, вариант 3