17087. Прямая l_{1}
касается окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
внешним образом, расстояние между точками касания равно 24. Прямая l_{2}
— внутренняя общая касательная, расстояние между точками касания в этом случае равно 7. Наименьшее расстояние между точками окружностей равно 1. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \frac{31}{2}
и \frac{17}{2}
.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно (R\gt r
), M
и N
— точки касания с прямой l_{1}
, P
и Q
— точки касания с прямой l_{2}
. По условию MN=24
, PQ=7
. Из условия также следует, что O_{1}O_{2}=R+r+1
(см. задачу 463).
Опустим перпендикуляр O_{2}A
из центра меньшей окружности на радиус O_{1}M
большей. Из прямоугольного треугольника O_{1}AO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}A^{2}+O_{2}A^{2}=O_{1}A^{2}+MN^{2},~\mbox{или}~(R+r+1)^{2}=(R-r)^{2}+24^{2}.
Опустим перпендикуляр O_{1}B
из центра большей окружности на продолжение радиуса O_{2}Q
меньшей. Из прямоугольного треугольника O_{1}BO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}B^{2}+O_{2}B^{2}=PQ^{2}+O_{2}B^{2},~\mbox{или}~(R+r+1)^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}.
Следовательно, R
и r
— решение системы
\syst{(R+r+1)^{2}=(R-r)^{2}+24^{2}\\(R+r+1)^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}\\R\gt r\\}\Leftrightarrow~\syst{(R-r)^{2}+24^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}\\r+R=24\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{Rr=\frac{17\cdot31}{4}\\r+R=24\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow~\syst{R=\frac{31}{2}\\r=\frac{17}{2}.\\}
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1990, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 3