17087. Прямая
l_{1}
касается окружностей с центрами
O_{1}
и
O_{2}
внешним образом, расстояние между точками касания равно 24. Прямая
l_{2}
— внутренняя общая касательная, расстояние между точками касания в этом случае равно 7. Наименьшее расстояние между точками окружностей равно 1. Найдите радиусы окружностей.
Ответ.
\frac{31}{2}
и
\frac{17}{2}
.
Решение. Пусть
R
и
r
— радиусы окружностей с центрами
O_{1}
и
O_{2}
соответственно (
R\gt r
),
M
и
N
— точки касания с прямой
l_{1}
,
P
и
Q
— точки касания с прямой
l_{2}
. По условию
MN=24
,
PQ=7
. Из условия также следует, что
O_{1}O_{2}=R+r+1
(см. задачу 463).
Опустим перпендикуляр
O_{2}A
из центра меньшей окружности на радиус
O_{1}M
большей. Из прямоугольного треугольника
O_{1}AO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}A^{2}+O_{2}A^{2}=O_{1}A^{2}+MN^{2},~\mbox{или}~(R+r+1)^{2}=(R-r)^{2}+24^{2}.

Опустим перпендикуляр
O_{1}B
из центра большей окружности на продолжение радиуса
O_{2}Q
меньшей. Из прямоугольного треугольника
O_{1}BO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}B^{2}+O_{2}B^{2}=PQ^{2}+O_{2}B^{2},~\mbox{или}~(R+r+1)^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}.

Следовательно,
R
и
r
— решение системы
\syst{(R+r+1)^{2}=(R-r)^{2}+24^{2}\\(R+r+1)^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}\\R\gt r\\}\Leftrightarrow~\syst{(R-r)^{2}+24^{2}=7^{2}+(R+r)^{2}\\r+R=24\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\syst{Rr=\frac{17\cdot31}{4}\\r+R=24\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow~\syst{R=\frac{31}{2}\\r=\frac{17}{2}.\\}

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1990, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 3