17089. Точки
A_{1}
,
A_{2}
, …,
A_{8}
разбивают окружность диаметра 1 на восемь равных дуг;
B
— точка этой окружности. Найдите длину вектора
\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть
O
— центр окружности. Тогда для каждого
i=1
, 2, …, 8 получим
\overrightarrow{BA_{i}}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA_{i}}.

Сложив эти равенства и учитывая, что
\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+\overrightarrow{OA_{8}}=\overrightarrow{0}

(см. задачу 4522а), получим
\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}=8\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{0}=8\overrightarrow{BO}.

Следовательно,
|\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}|=8|\overrightarrow{BO}|=8\cdot\frac{1}{2}=4.

Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 11, с. 25, задача 10