17089. Точки A_{1}
, A_{2}
, …, A_{8}
разбивают окружность диаметра 1 на восемь равных дуг; B
— точка этой окружности. Найдите длину вектора \overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда для каждого i=1
, 2, …, 8 получим
\overrightarrow{BA_{i}}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA_{i}}.
Сложив эти равенства и учитывая, что
\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+\overrightarrow{OA_{8}}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4522а), получим
\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}=8\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{0}=8\overrightarrow{BO}.
Следовательно,
|\overrightarrow{BA_{1}}+\overrightarrow{BA_{2}}+\dots+\overrightarrow{BA_{8}}|=8|\overrightarrow{BO}|=8\cdot\frac{1}{2}=4.
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 11, с. 25, задача 10