17099. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
и \angle ABC=30^{\circ}
. Из точки A
проведён диаметр описанной окружности. В каком отношении этот диаметр делится стороной BC
?
Ответ. \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
, считая от точки A
.
Решение. Пусть AD=2R
— диаметр описанной окружности данного треугольника. Поскольку \angle ADC=\angle ABC=30^{\circ}
, а OA=OD=OC=R
, то треугольник COD
равнобедренный с углом 30^{\circ}
при основании CD=R\sqrt{3}
.
Пусть диаметр AD
и сторона BC
пересекаются в точке L
. Тогда
\angle LCD=\angle BCD=\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB=
=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}=\frac{1}{2}\angle OCD,
поэтому CL
— биссектриса треугольника OCD
. Значит (см. задачу 1509),
\frac{DL}{LO}=\frac{CD}{CO}=\frac{R\sqrt{3}}{R}=\sqrt{3}~\Rightarrow~DL=\frac{DL}{OD}\cdot OD=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}~\Rightarrow
\Rightarrow~AL=AD-DL=2R-\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}R=\frac{(2+\sqrt{3})R}{1+\sqrt{3}}.
Следовательно,
\frac{AL}{DL}=\frac{\frac{(2+\sqrt{3})R}{1+\sqrt{3}}}{\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 2, вариант 4