17099. В треугольнике
ABC
известно, что
AB=BC
и
\angle ABC=30^{\circ}
. Из точки
A
проведён диаметр описанной окружности. В каком отношении этот диаметр делится стороной
BC
?
Ответ.
\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
, считая от точки
A
.
Решение. Пусть
AD=2R
— диаметр описанной окружности данного треугольника. Поскольку
\angle ADC=\angle ABC=30^{\circ}
, а
OA=OD=OC=R
, то треугольник
COD
равнобедренный с углом
30^{\circ}
при основании
CD=R\sqrt{3}
.
Пусть диаметр
AD
и сторона
BC
пересекаются в точке
L
. Тогда
\angle LCD=\angle BCD=\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB=

=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}=\frac{1}{2}\angle OCD,

поэтому
CL
— биссектриса треугольника
OCD
. Значит (см. задачу 1509),
\frac{DL}{LO}=\frac{CD}{CO}=\frac{R\sqrt{3}}{R}=\sqrt{3}~\Rightarrow~DL=\frac{DL}{OD}\cdot OD=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}~\Rightarrow

\Rightarrow~AL=AD-DL=2R-\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}R=\frac{(2+\sqrt{3})R}{1+\sqrt{3}}.

Следовательно,
\frac{AL}{DL}=\frac{\frac{(2+\sqrt{3})R}{1+\sqrt{3}}}{\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 2, вариант 4