17113. В треугольнике
ABC
биссектриса
CD
и медиана
BE
перпендикулярны. Найти площадь треугольника, если медиана равна
m
, а биссектриса равна
l
.
Ответ.
\frac{3}{4}ml
.
Решение. Пусть
F
— точка пересечения
CD
и
BE
. Поскольку высота
CF
треугольника
BCE
является биссектрисой, этот треугольник равнобедренный,
BC=CE
. Значит,
AC=2CE=2BC.

По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
BD:AD=BC:AC=1:2.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BCD}=3\cdot\frac{1}{2}CD\cdot BF=\frac{3}{2}\cdot l\cdot\frac{m}{2}=\frac{3}{4}ml.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 6
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 15, задача 3, вариант 6