17121. В окружность вписан четырёхугольник, наименьшая сторона которого равна единице. Любые две стороны этого четырёхугольника, имеющие общую вершину, отличаются на единицу. Найти радиус окружности.
Ответ.
\sqrt{\frac{7}{3}}
или
\frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Пусть
ABCD
— данный четырёхугольник, причём
AB=1
. Возможны два случая.
В первом
AD=BC=2
,
CD=3
, а четырёхугольник — равнобедренная трапеция с основаниями
AB
и
CD
. Пусть
BH
— высота трапеции,
R
— радиус описанной окружности. Тогда (см. задачу 1921)
CH=\frac{CD-AB}{2}=\frac{3-1}{2}=1,~DH=\frac{CD+AB}{2}=\frac{3+1}{2}=2,

поэтому
BH^{2}=BC^{2}-CH^{2}=4-1=3,~BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}.

Кроме того
\cos\angle BCD=\cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}~\Rightarrow~\angle BCD=60^{\circ}.

Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt{7}}{2\sin60^{\circ}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Во втором случае
AD=BC=2
,
CD=1
, и четырёхугольник
ABCD
— прямоугольник. Радиус описанной около него окружности равен половине диагонали, т. е.
\frac{\sqrt{5}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 22, задача 4, вариант 3