17121. В окружность вписан четырёхугольник, наименьшая сторона которого равна единице. Любые две стороны этого четырёхугольника, имеющие общую вершину, отличаются на единицу. Найти радиус окружности.
Ответ. \sqrt{\frac{7}{3}}
или \frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, причём AB=1
. Возможны два случая.
В первом AD=BC=2
, CD=3
, а четырёхугольник — равнобедренная трапеция с основаниями AB
и CD
. Пусть BH
— высота трапеции, R
— радиус описанной окружности. Тогда (см. задачу 1921)
CH=\frac{CD-AB}{2}=\frac{3-1}{2}=1,~DH=\frac{CD+AB}{2}=\frac{3+1}{2}=2,
поэтому
BH^{2}=BC^{2}-CH^{2}=4-1=3,~BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}.
Кроме того
\cos\angle BCD=\cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}~\Rightarrow~\angle BCD=60^{\circ}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt{7}}{2\sin60^{\circ}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
Во втором случае AD=BC=2
, CD=1
, и четырёхугольник ABCD
— прямоугольник. Радиус описанной около него окружности равен половине диагонали, т. е. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 22, задача 4, вариант 3