17131. В трапеции ABCD
известно, что AB=2
, \angle A=60^{\circ}
, \angle B=30^{\circ}
. Известно, что биссектрисы углов A
и D
трапеции и высота CM
, опущенная из вершины C
на основание AB
, пересекаются в одной точке. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{40\sqrt{3}}{81}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения биссектрис AO
, DO
и высоты CM
. Поскольку AO
и DO
— биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне AD
, то треугольник AOD
прямоугольный с прямым углом при вершине O
. Пусть OH
— его высота. Обозначим OH=x
.
Точка O
лежит на биссектрисах углов MAH
и CDH
, поэтому она равноудалена от прямых AM
, AH
и CD
(см. задачу 1138). Значит, OM=OH=OC=x
, а CM=2x
. Из прямоугольных треугольников AMO
и BMC
получаем
AM=x\ctg30^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}},~BM=CM\ctg30^{\circ}=2x\sqrt{3}.
Из равенства
AM+BM=AB,~\mbox{или}~x\sqrt{3}+2x\sqrt{3}=2,
находим, что x=\frac{2\sqrt{3}}{9}
. Тогда
CM=2x=\frac{4\sqrt{3}}{9},~CD=OC\ctg60^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\cdot\sqrt{3}=\frac{2}{9},
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CM=\frac{2+\frac{2}{9}}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{40\sqrt{3}}{81}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 29, задача 3, вариант 2