17131. В трапеции
ABCD
известно, что
AB=2
,
\angle A=60^{\circ}
,
\angle B=30^{\circ}
. Известно, что биссектрисы углов
A
и
D
трапеции и высота
CM
, опущенная из вершины
C
на основание
AB
, пересекаются в одной точке. Найдите площадь трапеции.
Ответ.
\frac{40\sqrt{3}}{81}
.
Решение. Пусть
O
— точка пересечения биссектрис
AO
,
DO
и высоты
CM
. Поскольку
AO
и
DO
— биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне
AD
, то треугольник
AOD
прямоугольный с прямым углом при вершине
O
. Пусть
OH
— его высота. Обозначим
OH=x
.
Точка
O
лежит на биссектрисах углов
MAH
и
CDH
, поэтому она равноудалена от прямых
AM
,
AH
и
CD
(см. задачу 1138). Значит,
OM=OH=OC=x
, а
CM=2x
. Из прямоугольных треугольников
AMO
и
BMC
получаем
AM=x\ctg30^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}},~BM=CM\ctg30^{\circ}=2x\sqrt{3}.

Из равенства
AM+BM=AB,~\mbox{или}~x\sqrt{3}+2x\sqrt{3}=2,

находим, что
x=\frac{2\sqrt{3}}{9}
. Тогда
CM=2x=\frac{4\sqrt{3}}{9},~CD=OC\ctg60^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\cdot\sqrt{3}=\frac{2}{9},

Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CM=\frac{2+\frac{2}{9}}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{40\sqrt{3}}{81}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 29, задача 3, вариант 2