17133. Основание AB
равнобедренной трапеции ABCD
равно 3, \angle A=60^{\circ}
. Диагональ AC
трапеции и биссектрисы углов B
и D
пересекаются в одной точке M
. Найдите основание CD
.
Ответ. \frac{3}{2}(3-\sqrt{5})
.
Решение. Пусть биссектриса угла D
пересекает основание AB
в точке N
. Тогда
\angle AND=\angle CDN=\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}.
Значит, треугольник ADN
равносторонний, поэтому AN=AD=BC
.
Обозначим CD=x
. Тогда
BN=AB-AN=3-x,~\angle BNM=120^{\circ},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BMN=\angle ABD-\angle ABM=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle MBN.
Треугольник BNM
равнобедренный, поэтому
MN=BN=3-x.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{3}{x}=\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{CM}=\frac{AD}{CD}=\frac{x}{CD}~\Rightarrow~CD=\frac{x^{2}}{3}.
Выразив квадрат диагонали AC
по теореме косинусов из треугольников ADC
и ABC
, получим
x^{2}+\frac{x^{4}}{9}+\frac{x^{3}}{3}=9+x^{2}-3x=0~\Leftrightarrow~x^{4}+3x^{3}+27x-81=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(x^{4}-81)+(3x^{3}+27x)=0~\Leftrightarrow~(x^{2}+9)(x^{2}-9)+3x(x^{2}+9)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x^{2}+3x-9=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}
этого уравнения. Следовательно,
CD=\frac{x^{2}}{3}=\frac{9-3x}{3}=3-x=3-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}=\frac{3}{2}(3-\sqrt{5}).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 30, задача 3, вариант 4