17136. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) проведена высота AD
. Окружность радиуса r
вписана в треугольник ADB
, её центр совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. r^{2}(4+3\sqrt{2})
.
Решение. Обозначим \angle BCA=\angle BAC=\alpha
. Угол при основании равнобедренного треугольника острый, поэтому центр O
описанной окружности треугольника ABC
(он же центр вписанной окружности треугольника ADC
) лежит внутри треугольника ABC
. Тогда
\angle BOA=2\angle BCA=2\alpha.
В то же время, поскольку AO
и BO
— биссектрисы углов соответственно BAD
и ABD
, то (см. задачу 1140), то
2\alpha=\angle BOA=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BDA=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770). Значит,
\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ},
поэтому ADB
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Пусть продолжение отрезка DO
пересекает его гипотенузу AB
в точке M
. Тогда DM
— биссектриса и медиана треугольника ADB
, проведённые из вершины прямого угла. Значит,
DM=DO+OM=r\sqrt{2}+r=r(\sqrt{2}+1)~\Rightarrow~BC=AB=2DM=2r(\sqrt{2}+1).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin45^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4r^{2}(\sqrt{2}+1)^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=
=(\sqrt{2}+1)^{2}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})\sqrt{2}=r^{2}(4+3\sqrt{2}).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 32, задача 3, вариант 3