17136. В равнобедренном треугольнике
ABC
(
AB=BC
) проведена высота
AD
. Окружность радиуса
r
вписана в треугольник
ADB
, её центр совпадает с центром окружности, описанной около треугольника
ABC
. Найдите площадь треугольника
ABC
.
Ответ.
r^{2}(4+3\sqrt{2})
.
Решение. Обозначим
\angle BCA=\angle BAC=\alpha
. Угол при основании равнобедренного треугольника острый, поэтому центр
O
описанной окружности треугольника
ABC
(он же центр вписанной окружности треугольника
ADC
) лежит внутри треугольника
ABC
. Тогда
\angle BOA=2\angle BCA=2\alpha.

В то же время, поскольку
AO
и
BO
— биссектрисы углов соответственно
BAD
и
ABD
, то (см. задачу 1140), то
2\alpha=\angle BOA=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BDA=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}

(см. задачу 4770). Значит,
\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ},

поэтому
ADB
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Пусть продолжение отрезка
DO
пересекает его гипотенузу
AB
в точке
M
. Тогда
DM
— биссектриса и медиана треугольника
ADB
, проведённые из вершины прямого угла. Значит,
DM=DO+OM=r\sqrt{2}+r=r(\sqrt{2}+1)~\Rightarrow~BC=AB=2DM=2r(\sqrt{2}+1).

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin45^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4r^{2}(\sqrt{2}+1)^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=

=(\sqrt{2}+1)^{2}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})\sqrt{2}=r^{2}(4+3\sqrt{2}).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 32, задача 3, вариант 3