17151. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями AD
и BC
и боковыми сторонами AB
и CD
. Известно, что AD=5
, BC=3
, \angle ACD=2\angle BAC
. Найдите боковую сторону трапеции.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle ACD=2\alpha
.
Проведём биссектрису CL
треугольника DCL
. Тогда
\angle ACL=\frac{1}{2}\angle ACD=\alpha=\angle BAC.
Значит, CL\parallel AB
, поэтому ABCL
— параллелограмм. Тогда
CL=AB=CD,~AL=BC=3,~DL=AD-AL=5-3=2.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CA}{CD}=\frac{AL}{DL}=\frac{3}{2}.
Пусть угол при большем основании трапеции равен \beta
. Из равнобедренного треугольника DCL
получаем
\angle\beta=90^{\circ}-\frac{1}{4}\angle ACD=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Тогда
\angle ABC=\angle DCB=180^{\circ}-\beta=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},
а так как CLD
— внешний угол треугольника ACL
, то
\angle ACB=\angle CAL=\angle CLD-\angle ACL=\beta-\alpha=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha=90^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}.
Положим CA=3x
, AB=CD=2x
. Из треугольника ACD
по теореме синусов получаем
\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{AC}{\sin\angle ABC},~\mbox{или}~\frac{2x}{\sin\left(90^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)}=\frac{3x}{\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}~\Leftrightarrow~\frac{2}{\cos\frac{3\alpha}{2}}=\frac{3}{\cos\frac{\alpha}{2}}
\Leftrightarrow~\frac{2}{\cos\frac{3\alpha}{2}}=\frac{3}{\cos\frac{\alpha}{2}}~\Leftrightarrow~\frac{2}{\cos\frac{\alpha}{2}(4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-3)}=\frac{3}{\cos\frac{\alpha}{2}}~\Leftrightarrow~\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{11}{12},
откуда
\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=2\cdot\frac{11}{12}-1=\frac{5}{6}.
Из равнобедренного треугольника DCL
находим, что
CD=\frac{\frac{1}{2}DL}{\cos\beta}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\frac{5}{6}}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{6}}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=2\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 41, задача 3, вариант 3