17165. Основания
AD
и
BC
равнобедренной трапеции
ABCD
равны соответственно 8 и 4. Перпендикуляр
AP
, опущенный из вершины
A
на сторону
CD
, делит среднюю линию трапеции пополам. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 24.
Решение. Пусть
M
и
N
— середины боковых сторон соответственно и
AB
и
CD
данной трапеции,
K
— середина средней линии
NM
,
CQ
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
DQ=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(8-4)=2.

По условию
KN=\frac{1}{2}MN\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{4}\cdot12=3.

Треугольник
KPN
подобен треугольнику
APD
с коэффициентом
\frac{KN}{AD}=\frac{3}{8}
. Положим
PN=3t
,
DN=5t
. Тогда
DP=8t,~CD=2DN=10t.

Пусть средняя линия
MN
пересекает отрезок
AP
и высоту
CQ
трапеции в точках
K
и
L
соответственно. Тогда
KN=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{4}(AD+BC)=\frac{1}{4}\cdot12=3.

Поскольку
\angle DAP=\angle DCQ
, прямоугольные треугольники
CQD
и
APD
подобны, поэтому
\frac{DQ}{CD}=\frac{DP}{AD},~\mbox{или}~\frac{2}{10t}=\frac{8t}{8}~\Leftrightarrow~\frac{1}{5t}=t~\Leftrightarrow~t=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Значит,
CQ=\sqrt{CD^{2}-DQ^{2}}=\sqrt{100t^{2}-4}=\sqrt{20-4}=4.

Следовательно,
S_{ABCD}=MN\cdot CQ=6\cdot4=24.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 50, задача 3, вариант 2