17175. Сторона квадрата ABCD
равна 4. Через вершину D
проведена прямая l
, пересекающая сторону BC
и проходящая на расстоянии 2 от середины стороны AB
. В каком отношении прямая l
делит сторону BC
?
Ответ. 3:1
, считая от точки C
.
Решение. Пусть M
— середина AB
, N
— точка пересечения отрезка BC
с прямой l
, K
— основание перпендикуляра, опущенного из M
на прямую l
.
Первый способ. Обозначим \angle ADM=\alpha
. Прямоугольные треугольники AMD
и KMD
равны по общей гипотенузе MD
и катету (AM=MK=2
). Значит,
\angle ADM=\angle MDK=\alpha~\Rightarrow~\tg\alpha=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.
Тогда из прямоугольного треугольника, в котором \angle NDC=90^{\circ}-2\alpha
, получаем
NC=CD\tg\angle NDC=4\tg\left(90^{\circ}-2\alpha\right)=4\ctg2\alpha=
=\frac{4}{\tg2\alpha}=\frac{4(1-\tg^{2}\alpha)}{2\tg\alpha}=\frac{4\left(1-\frac{1}{4}\right)}{2\cdot\frac{1}{2}}=3.
Значит,
BN=BC-NC=4-3=1.
Следовательно, CN:BN=3:1
.
Второй способ. Заметим, что прямая l
— касательная к окружности с центром M
и радиусом 2, отличная от касательной DA
. Тогда \angle DMN=90^{\circ}
как угол между биссектрисами DM
и NM
углов, сумма которых равна 180^{\circ}
. Значит, MK
— высота прямоугольного треугольника DMN
, проведённая из вершины M
прямого угла, поэтому (см. задачу 1718)
NB=NK=\frac{MK^{2}}{DK}=\frac{MK^{2}}{DA}=\frac{2^{2}}{4}=1~\Rightarrow~CN=3.
Следовательно, CN:BN=3:1
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 57, задача 3, вариант 1