1718. Докажите, что биссектрисы внешних углов неравнобедренного треугольника пересекают прямые, содержащие противоположные стороны треугольника, в точках, лежащих на одной прямой.
Решение. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах A
, B
и C
неравнобедренного треугольника ABC
пересекают прямые, содержащие стороны BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. По свойству биссектрис внешних углов треугольника (см. задачу 1645)
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}
(см. задачу 1645) поэтому
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}=1.
Следовательно, по теореме Менелая (см. задачу 1622) точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
