1718. Докажите, что биссектрисы внешних углов неравнобедренного треугольника пересекают прямые, содержащие противоположные стороны треугольника, в точках, лежащих на одной прямой.
Решение. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах A
, B
и C
неравнобедренного треугольника ABC
пересекают прямые, содержащие стороны BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. По свойству биссектрис внешних углов треугольника (см. задачу 1645)
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}
(см. задачу 1645) поэтому
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}=1.
Следовательно, по теореме Менелая (см. задачу 1622) точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 1, с. 23
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 10.2, с. 79
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 347a, с. 42
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.70а, с. 109