17179. Через вершину A
некоторого угла, равного 60^{\circ}
, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B
и D
, а его биссектрису — в точке C
. Найдите сумму отрезков AB
и AD
, если площадь четырёхугольника ABCD
равна 1.
Ответ. 2\sqrt[{4}]{{3}}
.
Решение. Сумма противоположных углов B
и D
вписанного четырёхугольника ABCD
равна 180^{\circ}
, поэтому если один из них острый, то второй тупой. Пусть угол B
будет острым (см. рис.).
Пусть CP
и CQ
— высоты треугольников ABC
и ACD
соответственно. Точка C
лежит на биссектрисе угла BAD
, поэтому она равноудалена от его сторон (см. задачу 1138), т. е. CP=CQ
.
Равные вписанные углы BAC
и CAD
опираются на равные дуги, поэтому равны хорды BC
и CD
. Значит, равны прямоугольные треугольники BPC
и CQD
(по катету и гипотенузе). Аналогично, равны прямоугольные APC
и AQC
. Тогда
AB+AD=AP+BP+AD=AP+DQ+AD=AP+AQ=2AP.
В то же время,
1=S_{ABCD}=S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle APC}+S_{\triangle CQD}+S_{\triangle ACD}=
=S_{\triangle APC}+S_{\triangle AQC}=2S_{\triangle APC}=AP\cdot PC=AP\cdot AP\tg30^{\circ}=\frac{AP^{2}}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
AP=\sqrt[{4}]{{3}},~AB+AD=2AP=2\sqrt[{4}]{{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 60, задача 3, вариант 1