17203. Задан квадрат ABCD
со стороной 2 и построены две окружности: первая — на стороне BC
как на диаметре, вторая — с центром в вершине D
и радиусом 2. Найдите радиус третьей окружности, которая касается стороны AB
и двух данных окружностей.
Ответ. 3-2\sqrt{2}
, \frac{1}{2}
, 1.
Решение. Пусть окружность искомого радиуса r
касается стороны AB
в точке K
, а также касается данных окружностей радиусов 1 и 2 внешним образом (рис. 1). Тогда (см. задачу 365)
AB=AK+KB,~\mbox{или}~2=2\sqrt{2r}+2\sqrt{r}~\Rightarrow~1=\sqrt{2r}+\sqrt{r}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sqrt{r}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1~\Rightarrow~r=3-2\sqrt{2}.
Пусть окружность с центром O
и радиусом r
касается данной окружности с диаметром BC
внутренним образом, а данной окружности радиуса 2 — внешним (рис. 2). Тогда, поскольку AB\perp CD
, точка касания искомой окружности с прямой AB
совпадает с точкой B
. При этом, если искомая окружность касается данной окружности с центром D
в точке L
, то OD=OL+DL=r+2
(см. задачу 1758), а так как OC=2-r
, то из прямоугольного треугольника DCO
получаем
(2-r)^{2}+2^{2}=(r+2)^{2}~\Rightarrow~r=\frac{1}{2}.
Если же искомая окружность касается данной окружности радиуса 1 внешним образом, а данной окружности радиуса 2 — внутренним (рис. 3), то аналогично получим, что r=1
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 78, задача 3, вариант 1.1