17204. Задан квадрат ABCD
со стороной 3 и построены две окружности: первая имеет радиус 1 и касается сторон AD
и AB
, вторая — с центром в вершине C
и радиусом 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается стороны AD
и двух данных окружностей.
Ответ. \frac{2-\sqrt{3}}{2}
, 1, \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть первая окружность касается стороны AD
в точке K
, а окружность искомого радиуса r
касается этой стороны в точке K
, а также касается данных окружностей радиусов 1 и 3 внешним образом (рис. 1). Тогда (см. задачу 365)
AD=AK+KD,~\mbox{или}~2=2\sqrt{r}+2\sqrt{3r}~\Rightarrow~1=\sqrt{r}+\sqrt{3r}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sqrt{r}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}~\Rightarrow~r=\frac{2-\sqrt{3}}{2}.
Пусть окружность с центром O
и радиусом r
касается данной окружности радиуса 3 внутренним образом, а данной окружности радиуса 1 — внешним (рис. 2). Тогда, поскольку CD\perp AD
, точка касания искомой окружности с прямой AD
совпадает с точкой D
. При этом, если искомая окружность касается данной окружности радиуса 1 с центром E
в точке F
, а H
— проекция точки E
на прямую CD
, то OE=OF+FE=r+1
(см. задачу 1758), а так как EH=|r-1|
, то из прямоугольного треугольника OHE
получаем
(r+1)^{2}=2^{2}+(r-1)^{2}~\Rightarrow~r=\frac{1}{2}.
Если же искомая окружность касается данной окружности радиуса 1 внутренним образом, а данной окружности радиуса 3 — внешним (рис. 3), то аналогично получим, что r=\frac{1}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 79, задача 3, вариант 1.2