17207. В прямоугольнике
ABCD
через вершину
B
перпендикулярно диагонали
AC
проведена прямая, которая пересекает продолжение стороны
AD
в точке
M
и диагональ
AC
в точке
K
. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники
ABM
и
AMK
, равны соответственно 12 и 9. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
BCK
.
Ответ. 7.
Решение. Пусть
r_{1}=12
,
r_{2}=9
и
r
— радиусы окружностей, вписанных соответственно в прямоугольные треугольники
ABM
,
AKM
и
BKC
.
Заметим, что эти три треугольника подобны, поскольку острый угол
AMB
— общий угол первых двух треугольников и равен углу
KBC
третьего. Коэффициент подобия подобных треугольников равен отношению радиусов их вписанных окружностей, поэтому
\frac{AM}{BM}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.

Положим
AM=3x
. Тогда
BM=4x
. Поскольку
AK
— высота прямоугольного треугольника
ABM
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 2728)
KM=\frac{AM^{2}}{BM}=\frac{9x^{2}}{4x}=\frac{9}{4}x~\Rightarrow~BK=BM-KM=4x-\frac{9}{4}x=\frac{7}{4}x.

Треугольники
AKM
и
BKC
подобны с коэффициентом
\frac{r}{r_{2}}=\frac{BK}{KM}=\frac{\frac{7}{4}x}{\frac{9}{4}x}=\frac{7}{9}.

Следовательно
r=\frac{7}{9}r_{2}=\frac{7}{9}\cdot9=7.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 81, задача 3, вариант 2.1