17211. В треугольнике ABC
точка K
— середина медианы BM
. Известно, что AB=7
, BC=5
, AK=6
. Найдите CK
.
Ответ. 2\sqrt{6}
.
Решение. Обозначим BK=KM=x
, AM=MC=y
, \angle BMC=\alpha
.
Учитывая, что \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha
, по теореме косинусов для треугольников ABM
, BCM
, AKM
и KCM
получаем
AB^{2}=4x^{2}+y^{2}+4xy\cos\alpha,~BC^{2}=4x^{2}+y^{2}-4xy\cos\alpha,
AK^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\cos\alpha,~CK^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha.
Из первых двух равенств следует, что
AB^{2}-BC^{2}=8xy\cos\alpha,
а из последних двух —
AK^{2}-CK^{2}=4xy\cos\alpha.
Значит,
AB^{2}-BC^{2}=2(AK^{2}-CK^{2}).
Следовательно,
CK^{2}=\frac{1}{2}(AK^{2}-AB^{2}+BC^{2})=\frac{1}{2}(36-49+25)=24~\Rightarrow~CK=2\sqrt{6}.
Примечание. Также можно воспользоваться формулой для медианы треугольника (см. задачу 4014).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 84, задача 3, вариант 1.1