17223. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AB
медиана AM
пересекает биссектрису BN
в точке K
. Найдите стороны треугольника ABC
, если известно, что BK=3
, KN=2
.
Ответ. AB=5\sqrt{3}
, AC=\frac{15}{2}
, BC=\frac{5\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Проведём через точку N
прямую, параллельную BC
. Пусть она пересечёт медиану AM
в точке L
. Из подобия треугольников NLK
и BMK
следует, что
\frac{NL}{BM}=\frac{NK}{KB}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~NL=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}CM,
а из подобия треугольников ANL
и ACM
следует что AN=\frac{2}{3}AC
, или \frac{AN}{NC}=2
.
Обозначим BC=x
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{NC}=2~~\Rightarrow~~AB=2x,~AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=4x^{2}-x^{2}=3x^{2},
откуда
AC=x\sqrt{3},~NC=\frac{1}{3}=\frac{x\sqrt{3}}{3}~\Rightarrow~x=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
По теореме Пифагора
BN^{2}=NC^{2}+BC^{2},~\mbox{или}~25=\frac{x^{2}}{3}+x^{2},
Следовательно,
BC=x=\frac{5\sqrt{3}}{2},~AC=\frac{15}{2},~AB=5\sqrt{3}
Примечание. Установить, что AN:NC=2:1
можно также по теореме Менелая для треугольника BCN
и прямой BN
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 88, задача 3, вариант 1.1