17243. Параллелограмм
ABCD
расположен на плоскости так, что его диагонали
AC
и
BD
лежат на прямых, заданных в прямоугольной системе координат
Oxy
уравнениями
y=x
и
y=-2x
соответственно, а сторона
AB
содержит точку с координатами
(4;1)
. Какое наименьшее значение может принимать площадь параллелограмма
ABCD
?
Ответ. 72.
Решение. Пусть вершина
A
параллелограмма
ABCD
лежит в первой четверти координатной плоскости, а вершина
B
— в четвёртой. Поскольку площадь треугольника
OAB
составляет четверть площади параллелограмма
ABCD
, площадь параллелограмма минимальна, если минимальна площадь этого треугольника, т. е. в случаем, когда точка
M(4;1)
— середина отрезка
AB
с концами на прямых прямых
y=x
и
y=-2x
соответственно (см. задачу 3575).
Пусть
A(x_{1};y_{1})
и
B(x_{2};y_{2})
— вершины параллелограмма
ABCD
, лежащие на прямых
y=x
и
y=-2x
соответственно, а
M(4;1)
— середина отрезка
AB
. Тогда координаты концов отрезка удовлетворяют системе
\syst{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=4\\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=1\\y_{1}=x_{1}\\y_{2}=-2x_{2}}~\Leftrightarrow~\syst{x_{1}+x_{2}=8\\y_{1}+y_{2}=1\\y_{1}=x_{1}\\y_{2}=-2x_{2}}~\Leftrightarrow~\syst{x_{1}=6\\x_{2}=2\\y_{1}=6\\y_{2}=-4.}

Пусть
\angle AOB=\alpha
, а
k_{1}=1
и
k_{2}=-2
— угловые коэффициенты прямых
y=x
и
y=-2x
соответственно. Тогда (см. задачу 13027)
\tg\alpha=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}\right|=\left|\frac{1+2}{1-2}\right|=3~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}},

а так как
OA=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2},~OB=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=2\sqrt{5}.

то
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle\alpha=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{2}\cdot2\sqrt{5}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=18.

Следовательно, минимальное значение площади параллелограмма равно
S_{ABCD}=4S_{\triangle AOB}=4\cdot18=72.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2002, задача 4, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 99, задача 4, вариант 1.1