3575. Дан угол XAY
и точка O
внутри него. Проведите через точку O
прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Указание. Через точку O
проведите прямую, отрезок которой, заключённый внутри данного угла, делился бы точкой O
пополам.
Решение. На продолжении отрезка AO
за точку O
отложим отрезок OM
, равный OA
, и проведём через точку M
прямую, параллельную стороне AY
данного угла. Пусть B
— точка пересечения этой прямой со стороной AX
, а прямая BO
пересекает сторону AY
в точке C
. Тогда треугольники MOB
и AOC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому OB=OC
. Докажем, что ABC
— искомый треугольник.
Первый способ. Проведём через точку O
прямую, пересекающую AX
и AY
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно. Пусть B_{1}
лежит между A
и B
. Обозначим через K
точку пересечения прямых B_{1}C_{1}
и MB
. Тогда
S_{\triangle OB_{1}B}=S_{\triangle OKB}-S_{\triangle B_{1}KB}\lt S_{\triangle OKB}=S_{\triangle OCC_{1}}.
Следовательно, S_{\triangle ABC}\lt S_{\triangle AB_{1}C_{1}}
.
Случай, когда точка B
лежит между точками A
и B_{1}
рассматривается аналогично.
Второй способ. Проведём через точку O
прямую. Пусть X
и Y
— точки её пересечения со сторонами данного угла, а точки P
и Q
лежат на сторонах AX
и AY
, причём APOQ
— параллелограмм. Обозначим S_{\triangle OXP}=S_{1}
и S_{\triangle OYQ}=S_{2}
. Тогда
S_{APOQ}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}
(см. задачу 3029), поэтому
S_{\triangle XAY}=S_{1}+S_{2}+S_{APOQ}=S_{1}+S_{2}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}\geqslant
\geqslant2\sqrt{S_{1}S_{2}}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}=4\sqrt{S_{1}S_{2}},
причём равенство достигается, когда S_{1}=S_{2}
, т. е. если O
— середина XY
. Следовательно, в этом случае точки X
и Y
совпадают с построенными ранее точками A
и B
соответственно.
