17248. Две окружности касаются друг друга внешним образом. Трапеция ABCD
расположена так, что её основания AB
и CD
являются диаметрами этих окружностей. Известно, что площади треугольников ABC
и ACD
равны 12\sqrt{7}
и 4\sqrt{7}
соответственно, BC:AD=1:3
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. 4 и 12.
Решение. Отношение 3:1
площадей заданных треугольников ABC
и ACD
с равными высотами равно отношению диаметров окружностей.
Пусть DC=2r
, BC=x
. Тогда
AB=3\cdot2r=6r,~AD=2BC=2x.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей с диаметрами AB
и CD
соответственно. Через точку C
параллельно AD
и O_{1}O_{2}
проведём прямые, пересекающие AB
в точках M
и N
соответственно. Тогда AMCD
и O_{1}NCO_{2}
— параллелограммы, поэтому
BM=AB-AM=AB-CD=6r-2r=4r,
BN=O_{1}B-O_{1}N=BN-O_{2}C=3r-r=2r=MN,
т. е. CN=O_{1}O_{2}=4r
— медиана треугольника MBC
со сторонами BC=x
, CM=AD=2x
и BM=4r
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4CN^{2}=2BC^{2}+2CM^{2}-BM^{2},~\mbox{или}~4\cdot16r^{2}=2x^{2}+8x^{2}-16r^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=8r^{2},
откуда x=2r\sqrt{2}
. Значит,
BC=x=2r\sqrt{2},~CM=2x=4r\sqrt{2}.
Обозначим \angle CBM=\alpha
. Пусть CH
— высота треугольника MBC
(т. е. высота трапеции ABCD
). По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{BM^{2}+BC^{2}-CM^{2}}{2BM\cdot BC}=\frac{16r^{2}+8r^{2}-32r^{2}}{2\cdot4r\cdot2r\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}},
поэтому
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}},
Следовательно,
CH=BC\sin\alpha=2r\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=r\sqrt{7}.
Поскольку
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=12\sqrt{7}+4\sqrt{7}=16\sqrt{7},
получаем равенство
16\sqrt{7}=S=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{6r+2r}{2}\cdot r\sqrt{7}=4r\sqrt{7}.
Следовательно,
O_{2}C=r=4,~O_{1}B=3r=12.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2002, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 102, задача 3, вариант 2.2