17251. В треугольнике ABC
продолжение медианы BD
пересекает описанную окружность в точке M
. Найдите BD
, если AB=7
, BC=9
, BM=13
.
Ответ. 5.
Решение. Обозначим BD=x
, MD=y
, AD=CD=z
, \angle ADB=\alpha
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627), получаем
AD\cdot CD=BD\cdot MD~\mbox{или}~xy=z^{2}.
По теореме косинусов
AB^{2}=49=z^{2}+x^{2}-2xz\cos\alpha,~BC^{2}=81=z^{2}+x^{2}+2xz\cos\alpha,
откуда x^{2}+z^{2}=65
. Таким образом, для положительных x
, y
и z
получаем систему
\syst{xy=z^{2}\\x^{2}+z^{2}=65\\x+y=13.}
Выразив y
из третьего уравнения и подставив в первое, получим x(13-x)=z^{2}
, а так как из второго уравнения z^{2}=65-x^{2}
, то
x(13-x)=65-x^{2}~\Rightarrow~x=5.
Следовательно, BD=5
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2003, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 104, задача 3, вариант 2.4