17255. В треугольнике ABC
медиана AK
, биссектриса BL
и высота CM
пересекаются в одной точке P
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CP=5
, PM=3
.
Ответ. 60.
Решение. Отметим середину N
отрезка BM
. Тогда KN
— средняя линия прямоугольного треугольника BMC
, поэтому
KN=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}(CP+PM)=\frac(5+3)=4
и KN\perp AB
.
Отрезок BP
— биссектриса треугольника BMC
, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{BM}{BC}=\frac{PM}{CP}=\frac{3}{5}.
Положим BM=3x
, BC=5x
. По теореме Пифагора
64=CM^{2}=BC^{2}-BM^{2}=25x^{2}-9x^{2}=16x^{2}~\Rightarrow~x=2~\Rightarrow~BM=6,~MN=3.
Треугольник AMP
подобен треугольнику ANK
с коэффициентом \frac{PM}{KN}=\frac{3}{4}
, поэтому
AM=\frac{3}{4}AN=\frac{3}{4}(AM+MN)=\frac{3}{4}(AM+6)~\Rightarrow~AM=9~\Rightarrow
\Rightarrow~AB=AM+BM=9+6=15.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot15\cdot8=60.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2003, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 106, задача 3, вариант 2.1