17256. В треугольнике ABC
медиана AK
, биссектриса BL
и высота CM
пересекаются в одной точке P
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AB=6
, CP:PM=3:2
.
Ответ. 3\sqrt{5}
.
Решение. Положим CP=3x
, PM=2x
. Отметим середину N
отрезка BM
. Тогда KN
— средняя линия прямоугольного треугольника BMC
, поэтому
KN=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}(CP+PM)=\frac{1}{2}(3x+2x)=\frac{5}{2}x.
и KN\perp AB
.
Треугольник AMP
подобен треугольнику ANK
с коэффициентом \frac{PM}{KN}=\frac{4}{5}
, поэтому
\frac{AM}{AN}=\frac{3}{4},~\mbox{или}~\frac{6-BM}{6-\frac{1}{2}BM}=\frac{3}{4},
откуда находим, что BM=2
.
Отрезок BP
— биссектриса треугольника BMC
, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{BC}{BM}=\frac{CP}{PM}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~BC=\frac{3}{2}BM=4.
По теореме Пифагора
CM=\sqrt{BC^{2}-BM^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2003, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 106, задача 3, вариант 2.2