17259. В трапецию ABCD
вписана окружность. Боковые стороны AB
и CD
касаются окружности в точках M
и N
соответственно, причём AM:MB=2:1
и CN:ND=2:9
. Найдите отношение AD:BC
оснований трапеции.
Ответ. 3:1
.
Решение. Обозначим через K
и L
точки касания окружности и радиуса r
с центром O
, вписанной в трапецию ABCD
, с основаниями AD
и BC
соответственно. Положим BM=x
, AM=2x
, CN=2y
, DN=9y
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому
BL=BM=x,~AK=2x,~CL=2y,~DK=9y.
Отрезок OM=r
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r=OM=\sqrt{BM\cdot AM}=\sqrt{x\cdot2x}=x\sqrt{2}
(см. задачу 2728). Аналогично, из прямоугольного треугольника DOC
получаем, что
r=ON=\sqrt{CN\cdot ND}=\sqrt{2y\cdot9y}=3y\sqrt{2}.
Из равенства x\sqrt{2}=3y\sqrt{2}
получаем, что x=3y
. Значит,
BC=BL+CL=x+2y=3y+2y=5y,~AD=2x+9y=6y+9y=15y.
Следовательно,
\frac{AD}{DC}=\frac{15y}{5y}=3.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2004, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 108, задача 3, вариант 1.1