17264. В остроугольном треугольнике ABC
высоты AK
и CL
пересекаются в точке H
. Известно, что CH=9
, HL=4
и AH:HK=4:1
. Найти радиус окружности, описанной около треугольника BKL
.
Ответ. \frac{3}{8}\sqrt{33}
.
Решение. Положим AH=4x
, HK=x
. Из точек K
и L
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AH\cdot HK=CH\cdot HL,~\mbox{или}~4x^{2}=36~\Rightarrow~x=3.
Обозначим \angle LBK=\beta
. Из точек K
и L
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Четырёхугольник BLKH
вписанный, поэтому
\angle CHK=180^{\circ}-\angle LHK=\angle LBK=\beta.
Из прямоугольного треугольника CKH
находим, что
\cos\beta=\cos\angle CHK=\frac{KH}{CH}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
По теореме косинусов
KL=\sqrt{HK^{2}+HL^{2}-2HK\cdot HL\cos(180^{\circ}-\beta)}=
=\sqrt{9+16+2\cdot3\cdot4\cos\beta}=\sqrt{25+8}=\sqrt{33}.
Пусть искомый радиус описанной окружности треугольника BKL
равен R
. Поскольку точка H
лежит на этой окружности, по теореме синусов находим
R=\frac{LK}{2\sin LBK}=\frac{LK}{2\sin\beta}=\frac{\sqrt{33}}{2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3\sqrt{33}}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{8}\sqrt{33}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2004, задача 3, вариант T2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 112 задача 3, вариант T2.1