17271. В окружность радиуса r
вписана трапеция ABCD
с острым углом при основании AD
, равным \alpha
. Известно, что биссектриса угла C
проходит через центр окружности. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 2r^{2}\sin^{3}\alpha
.
Решение. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная, \angle DAB=\angle ADC=\alpha
. Пусть O
— центр окружности описанной окружности трапеции. Поскольку CO
— биссектриса угла ACD
, а треугольник COD
равнобедренный, получаем
\angle ODC=\angle OCD=\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
Значит,
\angle COD=180^{\circ}-2\angle ODC=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\alpha.
Вписанный угол CAD
равен половине соответствующего центрального угла COD
, т. е. \angle CAD=\frac{\alpha}{2}
.
По теореме синусов
AC=2r\sin\angle ADC=2r\sin\alpha.
Пусть CH=h
— высота трапеции, \frac{AD+BC}{2}=l
— средняя линия трапеции. Из прямоугольного треугольника ACD
находим
h=AC\sin\angle CAD=2r\sin\alpha\cdot\sin\frac{\alpha}{2},~AH=2r\sin\alpha\cdot\cos\frac{\alpha}{2},
а так как (см. задачу 1921)
l=\frac{AD+BC}{2}=AH=2r\sin\alpha\cos\frac{\alpha}{2}
то
S_{ABCD}=lh=2r\sin\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\cdot2r\sin\alpha\cdot\sin\frac{\alpha}{2}=2r^{2}\sin\alpha\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2r^{2}\sin^{3}\alpha.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 116, задача 2, вариант 2