17273. В равнобедренной трапеции основания относятся как 1:2
, а диагональ делит острый угол пополам. Найдите площадь трапеции, если диагональ равна a
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина большего основания AD
равнобедренной трапеции ABCD
. Тогда ABCM
— параллелограмм, поэтому BM=CD=AB
и AM=MD=BC
Поскольку
\angle BAC=\angle BCA=\angle CAD,
треугольник ABC
равнобедренный, AB=BC
. Значит, AM=BC=AB
, т. е. треугольник ABM
равносторонний. Следовательно, \angle BAD=60^{\circ}
.
Пусть CH=h
— высота, а l=\frac{BC+AD}{2}
— средняя линия трапеции. Из прямоугольного треугольника ACH
с углом 30^{\circ}
при вершине A
находим, что
h=CH=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2},~AH=AC\cos30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
а так как AH=\frac{BC+AD}{2}=l
(см. задачу 1921), то
S_{ABCD}=lh=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1975, задача 2, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 117, задача 2, вариант 4