17274. В параллелограмме ABCD
угол BAD
равен 60^{\circ}
. Окружность, проходящая через точки A
, B
и D
, пересекает сторону CD
в середине. Найдите площадь параллелограмма, если радиус окружности равен R
.
Ответ. R^{2}\sqrt{3}
.
Решение. Пусть E
— середина стороны CD
. Трапеция ABED
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит, BE=AD=BC
, а так как \angle BCE=\angle BAD=60^{\circ}
, то треугольник BCE
равносторонний. Медиана BE
треугольника BCD
равна половине стороны CD
, значит (см. задачу 1188), треугольник BCD
прямоугольный с прямым углом при вершине B
. Тогда
\angle ADB=\angle CBD=90^{\circ},
поэтому AB
— диаметр окружности,
AB=2R,~BC=CE=BE=R,
а высота BH
равностороннего треугольника BCE
со стороной R
(т. е. высота параллелограмма ABCD
) равна \frac{R\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
S_{ABCD}=CD\cdot BH=2R\cdot\frac{R\sqrt{3}}{2}=R^{2}\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1976, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 118, задача 3, вариант 2