17276. Точка A
внутри круга радиуса R
удалена от центра O
круга на расстояние a
. Через точку A
проведены две хорды, образующие углы 30^{\circ}
с диаметром AO
. Найдите площадь вписанного в круг четырёхугольника, диагонали которого совпадают с проведёнными хордами.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{4}(4R^{2}-a^{2})
.
Решение. Пусть MN
и KL
— хорды из условия задачи, а PQ
— диаметр окружности, проведённый через точку A
(см. рис.). Тогда KMLN
равнобедренная трапеция с диагоналями KL
, MN
и углом 60^{\circ}
между ними.
Опустим перпендикуляр OH
на хорду KL
. Тогда H
— середина KL
. Из прямоугольного треугольника AOH
с гипотенузой OA=a
и углом 30^{\circ}
, противолежащим катету OH
, находим, что OH=\frac{a}{2}
. Тогда по теореме Пифагора
HL=\sqrt{OL^{2}-OH^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4R^{2}-a^{2}}~\Rightarrow~MN=KL=2HL=\sqrt{4R^{2}-a^{2}}.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{KMLN}=\frac{1}{2}KL\cdot MN\sin\angle KAM=\frac{1}{2}KL^{2}\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}(4R^{2}-a^{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(4R^{2}-a^{2}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1976, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 119, задача 3, вариант 4