17281. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
, для которой, отрезок BD
в 4 раза больше отрезка AD
. Точки O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников ACD
и BCD
. Известно, что прямая O_{1}O_{2}
параллельна прямой BC
. Найдите отношение, в котором прямая O_{1}O_{2}
делит площадь треугольника ABC
.
Ответ. 9:16
.
Решение. Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой O_{1}O_{2}
со сторонами AC
и AB
соответственно. Отрезок CD
— общая хорда окружностей, поэтому линия центров O_{1}O_{2}
этих окружностей делит CD
пополам (см. задачу 1130). Прямая O_{1}O_{2}
ещё и параллельна BC
, поэтому PQ
— средняя линия треугольника BCD
. Значит,
BQ=QD=2AD,~AQ=3AD.
По условию задачи AB=5AD
. Из этих соотношений и подобия треугольников APQ
и ABC
получаем
S_{\triangle APQ}=\left(\frac{AQ}{AB}\right)^{2}=\frac{9AD^{2}}{25AD^{2}}=\frac{9}{25}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle APQ}}{S_{PQBC}}=\frac{\frac{9}{15}}{1-\frac{9}{25}}=\frac{9}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1978, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 122, задача 3, вариант 1