17282. В трапеции ABCD
угол DAB
при основании AB
равен 45^{\circ}
. Известно, что окружность радиуса R
с центром в точке C
касается диагонали BD
и продолжений сторон AB
и AD
трапеции. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)R^{2}
.
Решение. Пусть E
— точка касания данной окружности с продолжением AD
. Тогда CDE
— прямоугольный треугольник с острым углом 45^{\circ}
, поэтому CD=R\sqrt{2}
. С другой стороны, DC
— биссектриса угла BDE
(см. задачу 1724), поэтому
\angle CDB=\angle CDE=45^{\circ}=\frac{1}{2}\angle BDE~\Rightarrow~\angle BDE=\angle ADB=90^{\circ}.
Значит, треугольник ADB
тоже прямоугольный с острым углом 45^{\circ}
. Высота этого треугольника, т.е высота трапеции, равна R
, поэтому AB=2R
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot R=\frac{1}{2}(2R+R\sqrt{2})\cdot R=R^{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1978, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 123, задача 3, вариант 2