17283. В трапеции ABCD
основания AB
и CD
равны 5 и 3 соответственно, боковая сторона AD
перпендикулярна основаниям. На основании CD
как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали AC
и BD
в точках F
и E
. Известно, что E
— середина отрезка BD
. В каком отношении точка F
делит отрезок AC
?
Ответ. 5:9
, считая от точки A
.
Решение. Поскольку CE
— высота и медиана треугольника CBD
, то BC=CD=3
. Пусть CG
— высота треугольника ABC
. По теореме Пифагора находим
CG=AD=\sqrt{BC^{2}-BG^{2}}=\sqrt{BC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5},
AC=\sqrt{AG^{2}+CG^{2}}=\sqrt{3^{2}+5}=\sqrt{14}.
Из прямоугольного треугольника ADC
с высотой DF
, опущенной на гипотенузу, получаем (см. задачу 2728)
AF=\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{5}{\sqrt{14}}.
Следовательно,
\frac{AF}{FC}=\frac{AF}{AC-AF}=\frac{\frac{5}{\sqrt{14}}}{\sqrt{14}-\frac{5}{\sqrt{14}}}=\frac{5}{14-5}=\frac{5}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1978, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 124, задача 3, вариант 3