17284. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
. Отрезки AD
, DC
и BD
равны 1, 2 и 3 соответственно. Известно, что центры O_{1}
и O_{2}
окружностей, описанных около треугольников ADC
и BDC
, и точка B
лежат на одной прямой. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{8\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Прямая O_{1}O_{2}
перпендикулярна общей хорде CD
данных окружностей и делит её пополам (см. задачу 1130). Эта же прямая проходит через точку B
. Значит, высота BE
треугольника BCD
будет одновременно его медианой. Из прямоугольного треугольника BCD
находим
BE=\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}~\Rightarrow~S_{\triangle BCD}=DE\cdot BE=1\cdot2\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{AB}{BD}\cdot S_{\triangle BCD}=\frac{4}{3}\cdot S_{\triangle BCD}=\frac{4}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1978, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 124, задача 3, вариант 4