17285. В невыпуклом четырёхугольнике ABCD
угол ABC
прямой, AB=BC=a
. Окружность с центром в точке D
касается сторон AB
, BC
и прямой AC
. Найдите площадь пересечения круга, ограниченного этой окружностью, и четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{5}{16}\pi a^{2}(3-2\sqrt{2})
.
Решение. Данная окружность вписана в равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
(см. рис.). Пусть E
, F
и G
— точки касания окружности со сторонами AB
, BC
и AC
соответственно, а r
— её радиус. Тогда (см. задачу 217)
r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{a+a-a\sqrt{2}}{2}=a\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Обозначим угол \angle ADC=\beta
. Поскольку AI
и CI
— биссектрисы углов при вершинах A
и C
прямоугольного треугольника ABC
, то (см. задачу 4770)
\beta=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Пересечение круга и четырёхугольника ABCD
есть сектор, центральный угол которого равен
2\pi-\beta=2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Пусть S
— площадь круга, S_{1}
— площадь сектора. Тогда
S_{1}=\frac{\frac{5\pi}{4}}{2\pi}S=\frac{5}{8}S=\frac{5}{8}\cdot\pi r^{2}=\frac{5}{8}a^{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{5\pi a^{2}}{16}(3-2\sqrt{2}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1979, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 125, задача 4, вариант 1