17294. Дан правильный треугольник ABC
со стороной 2. Через середину M
стороны AB
проведена прямая, пересекающая сторону AC
в точке N
и продолжение стороны BC
в точке D
. Площади треугольников AMN
и NCD
равны. Найдите MN
.
Ответ. \frac{\sqrt{13}}{3}
.
Решение. Поскольку треугольники AMN
и NCD
равновелики, прямые DA
и CM
параллельны (см. задачу 4190). Тогда по теореме Фалеса точка C
— середина отрезка BD
, поэтому AC
и DM
— медианы треугольника ABD
, а N
— их точка пересечения. Значит,
AN=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot2=\frac{4}{3}.
Из треугольника AMN
по теореме косинусов находим
MN=\sqrt{AN^{2}+AM^{2}-2AN\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{4}{9}+1-2\cdot\frac{4}{3}\cdot1\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 131, задача 3, вариант 2