17295. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=60^{\circ}
, \angle C=45
. Окружность, вписанная в угол CAB
, проходит через вершину C
и пересекает сторону BC
в ещё одной точке D
. Найдите площадь треугольника ABC
, если CD=\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{9-3\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle COD=2\angle ACD=2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда
OC=CD\cos45^{\circ}=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1,
а так как AO
— биссектриса угла CAB
, то \angle CAO=30^{\circ}
. Значит,
AC=CO\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin75^{\circ}}.
Следовательно (см. задачу 4258),
S_{\triangle ABC}=2R^{2}\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}\sin75^{\circ}=2\cdot\frac{3}{4\sin^{2}75^{\circ}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin75^{\circ}=
=\frac{3\sqrt{6}}{8\sin75^{\circ}}=\frac{3\sqrt{6}}{\frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}}=\frac{3\sqrt{6}}{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{3\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\cdot2}=\frac{9-3\sqrt{3}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 131, задача 3, вариант 3