17318. Сторона BC
треугольника ABC
равна a
, а угол BAC
равен \alpha
. Точка O
— центр окружности, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки B
, C
и O
.
Ответ. \frac{a}{2\cos\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
(см. задачу 1192), то
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть R
— искомый радиус окружности, проходящей через точки B
, C
и O
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{BC}{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{2\cos\frac{\alpha}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 142, задача 3, вариант 2